Идентификация параметров двигателя

Определяем сопротивление, индуктивность, постоянную ЭДС, инерцию и трение по измерениям и проверяем модель.

1. Что означает «найти параметры»

До сих пор R = 2 Ом, L = 0,02 Гн, J = 0,002 кг·м², b = 0,002 Н·м·с/рад и k = 0,1 считались известными. В реальной задаче часть параметров отсутствует в паспорте или относится к другой температуре и сборке. Идентификация — восстановление параметров математической модели по входам и измеренным выходам.

Используем двигатель постоянного тока с постоянным потоком. Измеряем u(t), i(t), ω(t); момент нагрузки должен быть известен или исключён постановкой опыта. Сначала выбирают структуру модели и только затем оценивают числа. Если отсутствует сухое трение, алгоритм может компенсировать его изменением b и J, но такие параметры плохо предскажут другой режим.

2. Электрический опыт: сопротивление и индуктивность

При неподвижном роторе противо-ЭДС равна нулю. Для идеальной обмотки и ступени напряжения i(t) = U/R + (i₀ − U/R)e^−tR/L. Установившийся ток определяет R, а форма перехода — L. В учебном расчёте фиксация ротора идеальна; на стенде используют предусмотренную конструкцией фиксацию и ограничение тока, чтобы не спутать измерение с перегревом обмотки.

Пример. При U = 4 В, i₀ = 0 установившийся ток равен 2 А. Через 10 мс измерено 1,26424 А. Получаем R = 2 Ом, τ_e = 0,01 с и L = 0,02 Гн. Одной установившейся точки для определения L недостаточно: в ней производная тока уже равна нулю.

Лучше использовать несколько уровней напряжения и аппроксимировать U = RI + U_щ в области одного знака тока. Ненулевой свободный член может отражать щёточное падение напряжения. Нельзя автоматически принять U/I за сопротивление, если это падение сопоставимо с приложенным напряжением.

3. Постоянная ЭДС, инерция и трение

При установившемся токе k_e = (U − RI)/ω для ω ≠ 0. Значения U = 12 В, I = 2 А, ω = 80 рад/с дают k_e = 0,1 В·с/рад. Численное равенство k_t = k_e относится к согласованной идеальной модели в СИ.

При выбеге с уже погашенным током и без внешней нагрузки Jω′ = −bω. Логарифмический наклон ln|ω| определяет только отношение b/J. По одному такому опыту независимо найти b и J нельзя.

Для разделения J и b нужен независимый опыт. Если при ω = 0 ускорение равно 50 рад/с², i = 1 А, M_L = 0, то J = 0,1/50 = 0,002 кг·м². При постоянной времени выбега 1 с получаем b = 0,002 Н·м·с/рад. Вывод предполагает отсутствие сухого трения в точке старта и известный момент двигателя.

4. Интегральная регрессия вместо шумной производной

Вычисление производной измеренного тока усиливает шум. Проинтегрируем электрическое уравнение на нескольких окнах [tₐ,tᵦ]. Каждое окно даёт линейное уравнение относительно R, L и k_e:

Столбцы Φ содержат интегралы тока, приращения тока и интегралы скорости. Матрица должна иметь полный столбцовый ранг. При неподвижном роторе третий столбец нулевой: k_e таким опытом не определяется. На установившемся режиме столбец приращений тока тоже нулевой. Нужны разные режимы и достаточная частота регистрации.

Решайте задачу через QR- или SVD-разложение, например numpy.linalg.lstsq, а не через явное обращение ΦᵀΦ. Столбцы с разными единицами полезно масштабировать. Шум присутствует и в Φ, поэтому обычный МНК не гарантирует несмещённой оценки; интегрирование лишь уменьшает чувствительность к высокочастотному шуму.

5. Расчёт по нескольким точкам

В скачиваемом примере используются времена 5, 10, 15, 20 мс и токи 0,78694; 1,26424; 1,55374; 1,72933 А при U = 4 В. Для q = (I∞ − i)/(I∞ − i₀) регрессия ln q = −αt даёт α = R/L:

Получается L ≈ 0,02000 Гн. Это почти точные синтетические данные. В измерениях точки слишком близко к I∞ дают нестабильный логарифм. При заметном шуме лучше минимизировать ошибку исходной экспоненты по току и отдельно оценить доверие к I∞. Логарифмическая регрессия и нелинейная подгонка исходного тока используют разные веса ошибок.

Скачать расчёты к урокам 11–15 на Python. Запуск: python advanced-experiments.py. Нужны NumPy и SciPy; результаты выводятся в консоль.

6. Независимая проверка и типичные ошибки

Оцените параметры по одной записи, затем рассчитайте другую ступень напряжения и скачок нагрузки без повторной подгонки. Покажите остатки i_изм − i_мод и ω_изм − ω_мод. Постоянное смещение, зависимость остатка от скорости или повторяемая форма важнее одного среднего числа ошибки.

Сдвиг времени датчика может выглядеть как увеличение L; ошибка масштаба энкодера — как изменение k_e. До подбора параметров согласуйте временные метки, направления и единицы. Отрицательные оценки R, L или J для пассивного двигателя — повод проверить информативность опыта и модель.

Задачи для самостоятельного решения

1. При неподвижном роторе U = 6 В, I∞ = 3 А, i₀ = 0. Через 8 мс ток достиг 1,89636 А. Найдите R и L.

2. При выбеге скорость уменьшилась со 100 до 60,653 рад/с за 0,5 с. Можно ли найти J и b? Найдите b при отдельно известном J = 0,003 кг·м².

Лабораторная работа и защита

Сгенерируйте RL-переход с известными R и L, добавьте шум тока с фиксированным seed и стандартным отклонением 0,01 А. Сравните оценку по одной точке и по всем точкам. Повторите 50 реализаций и приведите среднее значение и разброс. Затем внесите постоянное смещение датчика 0,03 А и объясните отличие систематической ошибки от случайной.

В отчёте укажите, какие параметры идентифицируются каждым опытом, какие приняты известными и на какой записи проверена модель. Объясните, почему удлинение только установившегося участка не помогает определить L.

Что запомнить

Параметры определяются только при достаточной информативности опыта. Оценку проверяют на независимом режиме с учётом шума и допущений. Совпадение на обучающем опыте не заменяет валидацию.